數(shù)學(xué)課堂重在引領(lǐng)學(xué)生探究

    人物介紹

張蜀青，理學(xué)博士，正高級(jí)教師，特級(jí)教師。國(guó)家高層次人才特支計(jì)劃教學(xué)名師，廣東省特支計(jì)劃教學(xué)名師，廣東省名教師工作室主持人。1993年7月至2023年7月在廣州市執(zhí)信中學(xué)擔(dān)任數(shù)學(xué)教師及學(xué)科組長(zhǎng)。2023年8月作為人才引進(jìn)，在廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院工作，任教高等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育等課程。近年來(lái)在核心期刊發(fā)表多篇文章，作為主要撰寫(xiě)人完成《問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)——理論與實(shí)踐卷》等4本教育專(zhuān)著。    

作為一名中學(xué)數(shù)學(xué)教師，在職業(yè)生涯前十多年里，我的注意力幾乎都集中在如何提高學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)上。我花費(fèi)很多時(shí)間和精力下載試卷、比較試題，看看有什么題型或者新奇的解題方法沒(méi)有講過(guò)，然后趕緊在課堂上補(bǔ)充。當(dāng)時(shí)，我對(duì)自己工作的評(píng)價(jià)也停留在看平均分、合格率、優(yōu)秀率、最高分在全年級(jí)乃至全市、全省的排名。但是達(dá)到了這些目標(biāo)，就是一位真正優(yōu)秀的教師嗎？蘇霍姆林斯基對(duì)此已經(jīng)預(yù)先給出了答案：“不要讓上課、評(píng)分成為人的精神生活的唯一的、吞沒(méi)一切的活動(dòng)領(lǐng)域?！彼J(rèn)為知識(shí)既是目的又是手段，知識(shí)不是為了“儲(chǔ)存”，而是為了“流通”。

    問(wèn)題驅(qū)動(dòng) 重構(gòu)教學(xué)

經(jīng)過(guò)20多年課改，如今教師越來(lái)越注重關(guān)于知識(shí)的起源或應(yīng)用的講解。如新、舊版教材里《橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》中，對(duì)橢圓的探究都是用“拉線作圖”畫(huà)出一個(gè)橢圓，從而給出定義：“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于兩定點(diǎn)間距離）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓?！钡@個(gè)探究方法是如何想到的？近十年來(lái)，不少教師和學(xué)者為此做了很多探索。有的教師使用折紙的辦法讓學(xué)生做出圓錐曲線，有的教師嘗試用著名的Dandelin雙球模型發(fā)現(xiàn)橢圓的焦點(diǎn)，還有的教師利用了橢圓的第三定義，但是這些仍然沒(méi)有解決“怎么想到的”這個(gè)問(wèn)題，甚至有的方法還會(huì)因?yàn)橐筮\(yùn)用過(guò)高的幾何證明而沖淡了主題。

如何創(chuàng)設(shè)出科學(xué)的問(wèn)題情境，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)橢圓的性質(zhì)并給出其定義？縱觀圓錐曲線的發(fā)展，它的幾何性質(zhì)在公元前400年就被發(fā)現(xiàn)了，但直到17世紀(jì)，科學(xué)家在研究光學(xué)問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的性質(zhì)可以用來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題，這才使得圓錐曲線再次被重視起來(lái)。電影放映機(jī)的工作原理正是利用了橢圓的幾何性質(zhì)。

于是我在課堂上從放映機(jī)的工作原理開(kāi)始，首先拋出一個(gè)問(wèn)題：“放映機(jī)上的透鏡會(huì)不會(huì)是圓球面的一部分？即透鏡的曲面截口線是不是一段圓弧？”學(xué)生們想到了反證法，先假設(shè)這是一段圓弧，則光線被透鏡反射后必經(jīng)原路返回到圓心O，不可能聚焦于異于圓心O的另外一點(diǎn)F，從而否定了這個(gè)假設(shè)。此時(shí)，我拋出第二個(gè)問(wèn)題：“這條截口線應(yīng)該是什么樣的曲線？”有些預(yù)習(xí)了的學(xué)生根據(jù)教學(xué)進(jìn)度猜測(cè)是橢圓，但是無(wú)法提供充分的理由。我提示學(xué)生們抓住光線反射原理這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，終于有部分學(xué)生利用光線反射原理，借助法線和切線找到了截口線上的點(diǎn)到O、F兩點(diǎn)的距離之和為定值這一規(guī)律。緊接著我拋出第三個(gè)問(wèn)題：“具有這個(gè)幾何性質(zhì)的點(diǎn)的軌跡是什么？你能畫(huà)出來(lái)嗎？”學(xué)生們借助用繩子畫(huà)圓的辦法畫(huà)出了橢圓，還在這個(gè)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)把繩子繃直固定在O、F處是無(wú)法畫(huà)出橢圓的，從而發(fā)現(xiàn)了O、F兩點(diǎn)之間的距離跟定值的關(guān)系。最后，我讓學(xué)生像直線、圓那樣給這條曲線寫(xiě)出代數(shù)式。

與常規(guī)課堂不同的是，這節(jié)課除了推演，沒(méi)有任何練習(xí)環(huán)節(jié)。由于課堂時(shí)間只有40分鐘，起初，對(duì)于把寶貴的15分鐘放在做練習(xí)上，還是引領(lǐng)學(xué)生探索“橢圓是什么以及為什么”上，我有所糾結(jié)。但最終，我選擇了后者。做練習(xí)雖然能幫助學(xué)生鞏固對(duì)概念的理解，但屬于模仿，缺少探究性。課堂教學(xué)應(yīng)該把發(fā)展思維、培養(yǎng)核心素養(yǎng)放在首位，不妨把一些模仿、固化的環(huán)節(jié)留到課后。這節(jié)課通過(guò)設(shè)置科學(xué)的問(wèn)題情境，由學(xué)生來(lái)完成對(duì)橢圓定義的再創(chuàng)造，每個(gè)知識(shí)要點(diǎn)都是學(xué)生實(shí)踐探索所得。這個(gè)過(guò)程雖然存在困難，但是克服困難才更能讓學(xué)生真正體會(huì)解決問(wèn)題的快樂(lè)。

    課題探究 深度學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)是近幾年的熱門(mén)話題，很多教師認(rèn)為深度學(xué)習(xí)就是加大例題、習(xí)題的難度。仔細(xì)閱讀教育部的文件和相關(guān)研究論述，可以發(fā)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)不僅強(qiáng)調(diào)深度思維，更強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)，關(guān)注教學(xué)的本質(zhì)，讓生本理念在深度學(xué)習(xí)中落實(shí)。因此，深度學(xué)習(xí)不是盲目加大難度，也不是課堂場(chǎng)面上的熱熱鬧鬧，而是通過(guò)師生間激烈深刻的思維碰撞，引領(lǐng)學(xué)生探索知識(shí)的本質(zhì)以及知識(shí)背后蘊(yùn)含的思想。

以“統(tǒng)計(jì)”這一章為例，由于高考對(duì)這部分的考查傾向于應(yīng)用，多數(shù)時(shí)候只要把數(shù)據(jù)套入公式計(jì)算出結(jié)果即可，這就導(dǎo)致高中統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)成了統(tǒng)計(jì)公式的使用學(xué)習(xí)。學(xué)生學(xué)完這章感覺(jué)既簡(jiǎn)單又艱澀：感覺(jué)簡(jiǎn)單，是因?yàn)榭荚?、作業(yè)套用公式就行，相對(duì)而言沒(méi)有太多思維量；感覺(jué)艱澀，是因?yàn)橥耆恢肋@些公式因何產(chǎn)生，知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系不清楚，很快就忘了。

于是，我針對(duì)這個(gè)板塊進(jìn)行課題研究式教學(xué)。我根據(jù)學(xué)生小學(xué)、初中的統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)，把高中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容分為三個(gè)子課題——獲取數(shù)據(jù)的方法、單個(gè)變量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析、成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，從而展開(kāi)課題研究。在教學(xué)過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)了新的問(wèn)題。由于小學(xué)初中學(xué)過(guò)抽樣、平均數(shù)、方差等知識(shí)，到了高中學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，很多學(xué)生提不起興趣，有些教師也覺(jué)得太簡(jiǎn)單就一帶而過(guò)，導(dǎo)致高中的新增知識(shí)也被忽略了。

鑒于此，我決定改變教學(xué)方式。首先，指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)閱讀官方發(fā)布的社會(huì)民生統(tǒng)計(jì)報(bào)告，了解統(tǒng)計(jì)報(bào)告的一般形式。其次，給學(xué)生布置兩個(gè)任務(wù)：在班級(jí)完成一個(gè)敏感問(wèn)題的普查（敏感問(wèn)題由學(xué)生在合法合規(guī)范圍內(nèi)自定）；運(yùn)用所掌握的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，完成對(duì)本年級(jí)學(xué)生假期學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)和睡眠時(shí)長(zhǎng)的調(diào)查，包括運(yùn)用所知道的統(tǒng)計(jì)工具分析數(shù)據(jù)、描述調(diào)查結(jié)果、撰寫(xiě)調(diào)查報(bào)告。在這個(gè)活動(dòng)中，學(xué)生們了解了所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)能解決什么問(wèn)題，解決這些問(wèn)題的價(jià)值與意義何在，以及想進(jìn)一步解決更多問(wèn)題還需要做什么探索。學(xué)生們對(duì)這個(gè)活動(dòng)興趣很高，任務(wù)完成率達(dá)到100%，研究結(jié)果還在年級(jí)進(jìn)行了展評(píng)。

在后續(xù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生們學(xué)會(huì)用類(lèi)似的方式提出問(wèn)題、查找資料、演繹推理，感受到統(tǒng)計(jì)知識(shí)的神奇所在。這種在教師引領(lǐng)下的學(xué)習(xí)新知，如同做課題研究，不但能幫助學(xué)生弄清楚每個(gè)知識(shí)點(diǎn)因何產(chǎn)生，向何處去，還能運(yùn)用在實(shí)際生活中。這就是深度學(xué)習(xí)。

    掇菁擷華 行以致遠(yuǎn)

數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)文化之間存在著密切關(guān)系，一個(gè)擁有豐富數(shù)學(xué)文化的人，通常對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有更強(qiáng)烈的興趣和動(dòng)機(jī)。

2009年，我校一位2003屆的校友破解了一個(gè)學(xué)術(shù)界的重大難題，成為亞洲第一個(gè)在國(guó)際計(jì)算機(jī)視覺(jué)與模式識(shí)別會(huì)議（CVPR）拿到最佳論文獎(jiǎng)的人。他在高中階段并不是一個(gè)愛(ài)刷題的人，但成績(jī)始終名列前茅。為此我特地問(wèn)他有什么獨(dú)特的學(xué)習(xí)方法，他說(shuō)自己每天完成功課之余就是讀書(shū)。著名科普作家、特級(jí)教師張遠(yuǎn)南先生編寫(xiě)的“數(shù)學(xué)故事叢書(shū)”，是他非常喜歡的一套書(shū)。他通過(guò)讀數(shù)學(xué)史厘清知識(shí)的來(lái)龍去脈，這對(duì)他后續(xù)的學(xué)習(xí)和工作產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。一個(gè)人若想在學(xué)術(shù)上有所創(chuàng)新，突破人類(lèi)認(rèn)知邊界，就必須有科學(xué)家的眼光和思維方式。這種能力無(wú)法靠刷題來(lái)培養(yǎng)，但可以通過(guò)弄清楚知識(shí)的生成過(guò)程而習(xí)得。后來(lái)，他還把“數(shù)學(xué)故事叢書(shū)”這套書(shū)送給了我，我也立即在課堂上分享給當(dāng)時(shí)所教的學(xué)生們。

近年來(lái)，越來(lái)越多的教師開(kāi)始重視在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，但我認(rèn)為，其形式不應(yīng)止于引進(jìn)數(shù)學(xué)史和次數(shù)有限的文化欣賞，還應(yīng)運(yùn)用數(shù)學(xué)文化中的數(shù)學(xué)思維方式和解決問(wèn)題的方法去影響學(xué)生的思維模式，鼓勵(lì)他們創(chuàng)新與發(fā)展。雖然教師不可能把所有的學(xué)生都培養(yǎng)成科學(xué)家，但是每個(gè)學(xué)生都有其獨(dú)特的稟賦、愛(ài)好和特長(zhǎng)，教師需要做的事情就是提供良好的條件，讓他們的能力得到充分的發(fā)展。其中重要途徑之一就是在教學(xué)中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓好奇和問(wèn)題帶領(lǐng)學(xué)生沉浸在數(shù)學(xué)探索的過(guò)程中。

我始終認(rèn)為，面向人的全面發(fā)展的數(shù)學(xué)課堂不應(yīng)該只有抽象的概念和難解的題目，數(shù)學(xué)教師要保持終身學(xué)習(xí)，不斷積累，使教學(xué)基于教材又高于教材，用鮮活生動(dòng)的案例激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)他們不畏艱難、勇于探索數(shù)學(xué)的本質(zhì)，幫助他們學(xué)會(huì)欣賞數(shù)學(xué)之美，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的成就感。

《中國(guó)教育報(bào)》2024年06月07日第5版